Unidad 4

 ÁLGEBRA BOOLEANA

En las matemáticas y la lógica matemática, álgebra de Boole es la subárea de álgebra en la que los valores de las variables que son los valores de la verdad verdadera y falsa, denotado generalmente 1 y 0 respectivamente. En lugar de álgebra elemental donde los valores de las variables son números, y las principales operaciones son la suma y la multiplicación, las principales operaciones del álgebra de Boole son la conjunción y, denotaba ∧, la disyunción o, denotado ∨, y la negación no, denotan ¬.

Álgebra de Boole fue introducida en 1854 por George Boole en su libro Una investigación de las leyes del pensamiento. Según Huntington, el término “álgebra de Boole” fue sugerido por primera vez por Scheffer en 1913.

Álgebra de Boole ha sido fundamental en el desarrollo de la informática y sin embargo es la base de la descripción abstracta de circuitos digitales. 

También se usa en la lógica digital, programación de computadoras, la teoría de conjuntos, y las estadísticas.

Un diagrama de Venn es una representación de una operación booleana usando regiones superpuestas sombreadas. Hay una zona para cada variable, todas las circulares en los ejemplos. El interior y el exterior de la región x corresponde, respectivamente, a los valores 1 (verdadero) y 0 (false) para la variable x. El sombreado indica el valor de la operación para cada combinación de regiones, que denota oscuro y la luz 1 0 (algunos autores utilizan la convención opuesta).

Los tres diagramas de Venn en la siguiente figura, respectivamente, representan conjuntamente x ∧ y, disyunción x ∨ y, y el complemento ¬ x.

4.1 TEOREMAS Y POSTULADOS ÁLGEBRA BOOLEANA

Álgebra de Boole (también llamada álgebra booleana) en informática y matemática, es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O, NO y SI (AND, OR, NOT, IF), así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.

Hay numerosos casos de distintas análisis de estructuras algebraicas que corresponden al álgebra de Boole, aunque en apariencia son muy diferentes, su estructura es la misma, vamos a ver algunos de ellos, con el propósito de hacer palpable las similitudes en la estructura y los distintos ámbitos de aplicación y distinta terminología para referirse a las operaciones o a las variables, veámoslos.

4.2 OPTIMIZACION DE EXPRESIONES BOOLEAAN

Cuando se plantea un problema, en general la expresión booleana obtenida no necesariamente es la óptima, esto es, la más fácil, clara y sencilla de implementar utilizando compuertas lógicas. La expresión que resulta del planteamiento del problema puede ser simplificada empleando para ello teoremas y postulados del algebra booleana o bien mapas de Karnaugh.

Ahora podemos optimizar nuestra función booleana y lo reducen en una forma más compacta. Tome la función anterior

F = x1x2 + x1

Podemos reducir la función mediante el uso de las reglas básicas de álgebra y técnicas...

F = (x1) (x2 +1) He tomar x1 común 

Ahora el segundo término (x2 +1) le dará un valor, independientemente de cualquier valor de x2, ya que tiene una constante por lo que puede reemplazar a (x2 +1) por lo tanto uno se convierte en F 

F = (x1) (1)

F = x1 

Así que tenemos que reducir la función en forma más sencilla mediante el uso de las técnicas básicas de álgebra. Ahora nos encontramos con la salida de esta función. 

X1 

F 

0 

0 

1 

1 

0 

0 

1 

1 

Así que usted puede ver que parte de la salida de esta función es igual que la salida de la función anterior, porque en realidad ambos son las mismas funciones y hemos reducido la función más simple en el uso de técnicas de álgebra y los teoremas de nuestra propia simplicidad.

Así que si se le da cualquier función de Boole primero trate de reducir en forma más sencilla para que pueda obtener la salida fácil.

4.3 APLICACIÓN DEL ÁLGEBRA BOOLEANA COMPUERTAS LÓGICAS

El álgebra booleana es una extensión de la lógica matemática, ya que utiliza los mismos principios y operadores lógicos (and, or, not, xor, nand), así como los mismos valores, y gracias a esto John Von Neuman pudo crear la computadora de la primera generación.

Los dispositivos con los que se implementan las funciones booleanas se llaman “compuertas”, y al combinarse han permitido inicialmente la creación del “bulbo", posteriormente la del “transistor” y actualmente la del 'Chip”, elementos con los cuales se construye todo tipo de aparato electrónico digital.

Las computadoras llevan a cabo su trabajo por medio de un microprocesador, el cual es un circuito de alta escala de integracion (LSI) compuesto por muchos circuitos simples como nip-flops, contadores, decodificadores, paradores, etc., todos en una misma pastilla de silicio en donde se utilizan compuertas del algebra booleana para llevar a cabo las operaciones lógicas.

Las microoperaciones que lleva a cabo el microprocesador se realizan en lenguaje binario a nivel bit. Por ejemplo, si A = 110010, B = 011011 entonces el resultado de llevar a cabo las siguientes operaciones en donde intervienen los operadores lógicos (∧, ∨ , ') es:
A ∧ B =110010 ∧ 011011= 010010


A v B = 110010 v 011011 = 111011


A B = 110010 011011 = 101001


A '= (110010)'= 001101

4.3.1 MINI Y MAXI TERMINOS

Mini términos

Para una función booleana de n variables {x_1,…x_n}, un producto booleano en el que cada una de las n variables aparece una sola vez (negada o sin negar) es llamado mini término. Es decir, un mini término es una expresión lógica de n variables consistente únicamente en el operador conjunción lógica (AND) y el operador complemento o negación (NOT).

Por ejemplo, abc, ab’c y abc’ son ejemplos de minterms para una función booleana con las tres variables a, b y c.

En general, uno asigna a cada minterm (escribiendo las variables que lo componen en el mismo orden), un índice basado en el valor binario del minterm. Un término negado, como a’ es considerado como el número binario 0 y el término no negado a es considerado como un 1. Por ejemplo, se asociaría el número 6 con a b c’, y nombraríamos la expresión con el nombre m_6. Entonces m_0 de tres variables es a’ b’ c’ y m_7 debería ser a b c al ser 111_ {(2}. Se puede observar que cada minterm solo devuelve verdadero, (1), con una sola entrada de las posibles. Por ejemplo, el mini término 5, a b’ c es verdadero solo cuando a y c son ciertos y b es falso - la entrada a = 1, b = 0, c = 1 da resultado 1.

Maxitérminos Un maxitérmino es una expresión lógica de n variables que consiste únicamente en la disyunción lógica y el operador complemento o negación. Los maxiterminos son una expresión dual de los mini términos. En vez de usar operaciones AND utilizamos operaciones OR y procedemos de forma similar. Por ejemplo, los siguientes términos canónicos son maxitérminos:

4.3.2 REPRESENTACIÓN DE EXPRESIONES BOOLEANAS CON CIRCUITOS LÓGICOS

La representación gráfica es la que se utiliza en circuitos y esquemas electrónicos. En la siguiente figura se representan gráficamente dos funciones algebraicas, una con símbolos no normalizados, superior, y la otra con normalizados, inferior (véanse los símbolos de las puertas lógicas)