Unidad 2

CONJUNTOS

Un conjunto es una colección bien definida de objetos, entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc. Algunos ejemplos son:

A es el conjunto de los números naturales menores que 5.

B es el conjunto de los colores verde, blanco y rojo.

C es el conjunto de las letras a, e, i, o y u.

D es el conjunto de los palos de la baraja francesa.

Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que componen el conjunto se llaman elementos o miembros. Se dice que «pertenecen» al conjunto y se denota mediante el símbolo ∈:n 1 la expresión a ∈ A se lee entonces como «a está en A», «a pertenece a A», «A contiene a a», etc. Para la noción contraria se usa el símbolo ∉. Por ejemplo:

3 ∈ A, ♠ ∈ D

Amarillo ∉ B, z ∉ C

2.1 CARACTERÍSTICAS DE LOS CONJUNTOS

En matemáticas, un conjunto es una agrupación de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos del conjunto pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto.1 Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es: 

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}

Propiedad de la extensionalidad Dos conjuntos A y B que tengan los mismos elementos son el mismo conjunto, A = B.

Un conjunto A es un subconjunto del conjunto B si cada elemento de A es a su vez un elemento de B

2.1.1 CONJUNTO UNIVERSO VACIÓ

En lógica y matemáticas, específicamente en teoría de conjuntos y lógica de clases, el conjunto vacío es el conjunto que no contiene ningún elemento. Puesto que lo único que define a un conjunto son sus elementos, el conjunto vacío es único. En una teoría axiomática de conjuntos, la existencia de un conjunto vacío se postula. Algunas propiedades de los conjuntos son trivialmente ciertas para el conjunto vacío.

Notación

El conjunto vacío es denotado por los símbolos:

Derivados de la letra Ø. Esta notación fue introducida por André Weil en 1939.

Otra notación común para el conjunto vacío es la notación extensiva, especificando sus elementos (ninguno) entre llaves:

Propiedades

El conjunto vacío tiene las siguientes propiedades generales:

El conjunto vacío es único: dado dos conjuntos sin elementos, ambos son iguales. (Esto justifica hablar de “el conjunto vacío” y no de “un conjunto vacío”). El único subconjunto del conjunto vacío es él mismo:

El número de elementos del conjunto vacío (es decir, su número cardinal) es cero; en particular, el conjunto vacío es un conjunto finito:

Muchas afirmaciones sobre el conjunto vacío son trivialmente ciertas, debido a la siguiente propiedad:

Sea una propiedad expresada mediante un predicado (como “ser mortal” o “ser un número primo”). Entonces todos los elementos del conjunto vacío poseen esa propiedad.

Este teorema es cierto porque el conjunto vacío no tiene elementos, y decir “todo hombre en Ø; es inmortal” es lo mismo que afirmar que “no hay ningún hombre mortal en Ø”, y esto último es trivialmente cierto.

Además, el conjunto vacío actúa como el cero en las operaciones del álgebra de conjuntos:

Para todo conjunto A, el conjunto vacío es subconjunto de A:

Para todo conjunto A, la unión de A con el conjunto vacío es A:

Para todo conjunto A, la intersección de A con el conjunto vacío resulta en el conjunto vacío:

Para todo conjunto A, el producto cartesiano de A y el conjunto vacío es vacío:

Adicionalmente, el conjunto potencia del conjunto vacío es el que contiene sólo al mismo conjunto vacío, es decir, Ø}. Por lo tanto, el número cardinal de \mathcal{P}(\emptyset)=\{\emptyset\} es (\emptyset)|=1, considerando que el cardinal del conjunto vacío es cero.

2.1.2 NÚMEROS NATURALES ENTEROS RACIONALES REALES E IMAGINARIOS

Los conjuntos numéricos son agrupaciones de números que guardan una serie de propiedades estructurales. [Cita requerida] Sus características estructurales más importantes son:

1. Dotados de operadores, admiten estructura algebraica estable

2. Están dotados de propiedades topológicas (o pueden llegar a estarlo)

3. Admiten relación de orden

4. Admiten relación de equivalencia

5. Son representables mediante diagramas de Hasse, diagramas de Euler y diagramas de Venn, pudiéndose tomar una combinación de ambos en un diagrama de Euler-Venn con la forma característica de cuadrilátero y además pudiéndose representar internamente un diagrama de Hasse (es una recta).

6. Todos los conjuntos numéricos se construyen desde una estructura más simple hasta otra más compleja.

7. El orden de construcción de los conjuntos numéricos (de menor a mayor complejidad) es el siguiente:

Números naturales El 1 Números primos Números compuestos Números enteros El cero

Números enteros negativos

Números racionales

Números irracionales

Números reales

Número imaginario

Extensiones de los números reales

Números complejos

Números complejos algebraicos

8. Todos los conjuntos numéricos son a su vez, subconjuntos del Conjunto C de los números complejos.

9. El conjunto de los conjuntos numéricos es representable a través del diagrama del Dominó o de Llaves. Los números enteros constituyen a los naturales. Los racionales son fracciones y enteros

2.1.3 SUBCONJUNTOS

En matemáticas, especialmente en teoría de conjuntos, un conjunto A es subconjunto de un conjunto B si A “está contenido” dentro de B. Recíprocamente, se dice que el conjunto B es un superconjunto de A cuando A es un subconjunto de B.

Un conjunto A formado por algunos de los elementos de otro conjunto B es un subconjunto de este último:

Sean A y B dos conjuntos tal que cada elemento de A es también elemento de B. Entonces se dice que:

A es un subconjunto de B, y se denota A ⊆ B, B es un superconjunto de A, y se denota B ⊇ A

Otras maneras de decirlo son “A está incluido en B”, “B incluye a A”, etc.

Ejemplos.

El “conjunto de todos los hombres” es un subconjunto del “conjunto de todas las personas”. {1, 3} ⊆ {1, 2, 3, 4} {2, 4, 6,…} ⊆ {1, 2, 3,..} = N ({Números pares} ⊆ {Números naturales})

Subconjunto propio

Es obvio que cada elemento de un conjunto A es un elemento de A (es una afirmación tautológica). Por tanto se tiene el siguiente teorema:

Todo conjunto A es subconjunto de sí mismo.

Así, dados dos conjuntos A ⊆ B, cabe la posibilidad de que sean iguales, A = B.

Por otro lado, es posible también que A contenga algunos, pero no todos los elementos de B:

Sea A un subconjunto de B tal que A ≠ B. Entonces se dice que A es un subconjunto propio de B, y se denota por A ⊊ B. (A su vez, se dice que B es un superconjunto propio de A, B ⊋ A)

Todos los ejemplos de subconjunto mostrados arriba son de hecho subconjuntos propios.

También se utiliza la notación A ⊂ B y B ⊃ A, pero según el autor esto puede denotar subconjunto, A ⊆ B y B ⊇ A; o subconjunto propio, A ⊊ B y B ⊋ A.1

Conjunto potencia

La totalidad de los subconjuntos de un conjunto dado A constituye el llamado conjunto potencia o conjunto partes de A:

El conjunto potencia de A es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A:

Cuando el conjunto A tiene un número finito de elementos, digamos |A| = n, el conjunto potencia también es finito y tiene 2n elementos.

Ejemplo. Dado el conjunto A = {a, b}, su conjunto potencia es:

Propiedades

El conjunto vacío, denotado como ∅, es subconjunto de cualquier conjunto.

Esto es debido a que “todo elemento de ∅ lo es de A” significa lo mismo que “∅ no tiene ningún elemento que no esté en A”, y esto es cierto sea cual sea A ya que ∅ no tiene elementos.

Si cada elemento de un conjunto A lo es de otro conjunto B, y cada elemento de B a su vez lo es de otro conjunto C, entonces cada miembro de A pertenece también a C, o sea:

Dados tres conjuntos A, B y C, si A es subconjunto de B y B es subconjunto de C, entonces A es subconjunto de C.

Además, si dos conjuntos son subconjuntos el uno del otro, entonces todos los miembros de uno lo son del otro y viceversa. Entonces, ambos conjuntos poseen los mismos elementos, y los conjuntos quedan definidos únicamente por sus elementos, luego:

Si A es subconjunto de B y B es subconjunto de A, entonces A = B.

2.1.4 CONJUNTO POTENCIA

En matemáticas, dado un conjunto S, se llama conjunto potencia o conjunto de partes de S (se denota por P(S) o 2S) al conjunto formado por todos los subconjuntos posibles de S.

Cuando S es finito, si n = |S| es el número de elementos de S entonces su conjunto potencia contiene |P(S)| = 2n elementos. En este caso también se puede establecer una biyección entre los elementos del conjunto potencia con números de n-bits: el n-ésimo bit se refiere a la presencia o ausencia del n-ésimo elemento de S. Hay 2n tales números. Este argumento prueba la identidad de coeficientes binomiales:

La cardinalidad de un conjunto potencia siempre es mayor que la cardinalidad del conjunto base, el argumento diagonal de Cantor demuestra la afirmación para conjuntos infinitos, mientras que el hecho de que n < 2n la prueba para conjuntos finitos. El conjunto potencia de los números naturales, por ejemplo, se puede poner en correspondencia uno a uno con el conjunto de números reales. Usualmente se establece primero una biyección entre los números reales y el intervalo cerrado [0,1], para luego, usando la expansión diádica de los números reales, identificar cada elemento de [0,1] con la sucesión infinita de ceros y unos dada por los coeficientes.

2.2 OPERACIONES CON CONJUNTOS UNIÓN INTERSECCIÓN COMPLEMENTO DIFERENCIA Y DIFERENCIA SIMÉTRICA

Álgebra de conjuntos

Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:

Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene cada elemento que está por lo menos en uno de ellos.

Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.

Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.

Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos (respecto de algún conjunto referencial) que no pertenecen a A.

Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.

Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento a pertenece a A y su segundo elemento b pertenece a B.

2.3 PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS

Operaciones Con Conjuntos 

2.4 APLICACIONES DE CONJUNTOS

En matemáticas, un conjunto es una agrupación de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos del conjunto pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto.1 Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es:

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13,…}

Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo:

S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles} AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Amarillo, Naranja, Rojo, Verde, Violeta, Añil, Azul}

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho elementos). Además, los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números. Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.